Análise Matemática III (2 º Sem Ano Lectivo 2024)

1.Séries numéricas e Séries de funções 6 aulas
Séries numéricas. Soma duma série. Propriedades básicas. Critérios da convergência (condição necessária, critérios suficientes, critérios de D’Alembert, critérios radical e integral de Cauchy, critérios de comparação) das séries numéricas de termos positivos.
Séries alternadas. Teorema de Leibniz. Séries de sinais quaisquer. Convergência absoluta e semiconvergência.
Séries de funções. Séries majoráveis. Convergência uniforme. Teorema de Weierstrass. Séries inteiras. Intervalos de convergência. Teorema de Abel. Propriedades das séries convergentes. Integração e derivação de séries.
Séries de Taylor e de Maclaurin. Desenvolvimento de funções em séries inteiras. Aplicação das séries inteiras para cálculos aproximados.

2.Séries de Fourier 6 aulas
Problemas que levam a séries trigonométricas. Ortogonalidade de funções trigonométricas sobre o intervalo finito simétrico. Definição da série de Fourier. Teorema sobre os coeficientes da série de Fourier de uma função definida em .
Desenvolvimento em série de Fourier de funções definidas sobre o intervalo finito simétrico, incluindo das pares e ímpares.
Desenvolvimento em séries de Fourier de funções definidas sobre um intervalo assimétrico.

3.Equações diferenciais da primeira ordem 6 aulas
Problemas físicos e técnicos que levam a equações diferenciais. Conceitos gerais. Problema de Cauchy. Interpretação geométrica de equação diferencial da 1 ordem dada na forma normal. Formação de equação diferencial das famílias das curvas
Equações diferenciais com variáveis separadas e separáveis, homogéneas e redutíveis a homogéneas, equações diferenciais exactas
Equações diferenciais lineares da 1 ordem, equação deferencial de Bernuolli
Equações de Lagrange e Clairaut

4.Equações diferenciais de ordem superior 6 aulas
Problemas físicos e técnicos que levam a equações diferenciais da 2 ordem. Conceitos gerais. Teorema de existência e unicidade de solução da equação diferencial da 2 ordem.
Teoria geral de equações diferenciais lineares. Determinante de Wronsky, Fórmula de Liouville. Forma geral da solução duma equação diferencial linear homogénea e não homogénea. Equações diferenciais com coeficientes constantes
Métodos de resolução das equações diferenciais lineares da 2 ordem
Equação de Euler. Equação de Bessel.
Resolução de sistemas de equações diferenciais, método de eliminação

5. Elementos de Análise complexa 6 aulas
Números complexos. Formas de apresentação. Operações. Fórmulas de Euler. Sucessões e Séries de números complexos.
Funções de números complexos. Limite. Derivada. Equações de Cauchy – Riemann. Integração. Definições e propriedades principais. Integração através da curvilínea. Teorema de Cauchy. Fórmula integral de Cauchy.
Pontos singulares. Resíduos. Teoremas sobre resíduos. Séries de Laurent. Aplicações.

6. Transformação de Laplace 6 aulas
Definição da transformada de Laplace e as suas propriedades principais (existência, linearidade). Teoremas fundamentais. Tabela de transformadas. Derivação e integração. Teorema da convolução. Método de inversão.
Aplicação dos métodos de Cálculo operacional para a resolução das equações diferenciais e sistemas de equações diferenciais.
Aplicações das transformadas de Laplace em diferentes problemas.

7. Transformação de Fourier 6 aulas
Definição e as propriedades principais da transformada de Fourier. Integral de Fourier e formas equivalentes para o integral de Fourier.
Propriedades principais (linearidade, atraso, modulação, similaridade, amostragem).
Identidade de Parceval para os integrais de Fourier.
Aplicação das transformadas de Fourier na resolução de equações diferenciais.
Aplicação da transformação de Fourier em diferentes problemas.

8. Transformação Z 6 aulas
Definição e as propriedades principais de transformada Z. Existência e domínio de definição. Métodos para a obtenção da transformada Z.
Linearidade, deslocamento, mapeamento no plano Z, convolução. Análise de estabilidade no plano Z. Transformada Z inversa e suas propriedades principais.
Método da expansão em fracções parciais. Método das séries da potência.
Fórmula de inversão. Teorema de adição e subtracção. Multiplicação por uma constante. Translação real e complexa.
Teorema do valor inicial e final. Convolução real.
Equações em diferenças finitas e lineares, e as suas propriedades operacionais principais.
Aplicações da transformada Z na resolução de equações em diferenças lineares finitas. Tabela de transformadas Z mais comuns.
Sistemas lineares invariantes no tempo.
Função de transferência.